Alle onderzoekers zijn fantasten. Aan hun flinterdunne empirische gegevens hangen zij theoretische bouwwerken op die een oneindig veel grotere zeggingskracht hebben dan die gegevens zelf. Vaak moet je dat ‘oneindig’ letterlijk nemen, want wetenschappelijke theorieën doen nogal eens uitspraken over continue eigenschappen, en de zeggingskracht van zulke uitspraken kan nooit benaderd worden door eindige hoeveelheden empirische gegevens.

Verreweg de grootste fantasten van allemaal, dat zijn de wiskundigen. Dat komt omdat zij het helemaal zonder empirie stellen. De stelling van Pythagoras bijvoorbeeld kan onmogelijk weerlegd worden door welk empirisch gegeven dan ook. Omgekeerd heeft het geen enkele zin om te proberen de stelling van Pythagoras te bewijzen door empirische driehoeken te bestuderen. Niet alleen omdat de stelling van Pythagoras voor alle mogelijke driehoeken geldt, en wij er daarvan hooguit een paar zouden kunnen bestuderen, maar ook omdat die stelling alleen waar is in een perfect plat vlak, en zo’n plat vlak bestaat in het echt niet.

Waar halen wiskundige stellingen, bij gebrek aan empirie, hun waarheidswaarde vandaan? Daar lopen de meningen over uiteen. Vroeger dacht men dat ‘waar’ in de wiskunde gelijk stond aan ‘te bewijzen uit de axioma’s’. Maar dat klopt niet. De logicus Gödel liet in de jaren ’30 van de vorige eeuw zien dat formele systemen ofwel inconsistent zijn, ofwel ware stellingen bevatten die niet bewijsbaar zijn. Zijn onbewijsbare maar ware stellingen zijn zelf-referentieel en zeggen zoiets als ‘ik ben niet bewijsbaar’. Als zo’n stelling bewijsbaar is, dan klopt het systeem niet, en als hij niet bewijsbaar is, dan is hij waar. Daar krijgt een mens hoofdpijn van.

Gödel zelf trok uit die hoofdpijn de conclusie dat wiskundige stellingen hun waarheid alleen kunnen ontlenen aan het feit dat zij betrekking hebben op een transcendent, ontastbaar, tijdloos domein van abstracte begrippen. Dat noemt men wiskundig realisme. Bezwijkt de gehele mensheid morgen aan een natuurramp, dan verandert dat aan de waarheidswaarde van een wiskundige stelling niets, want die heeft betrekking op de wiskundige wereld van abstracte objecten. En die wereld bestaat ook zonder ons.

Gödel deed aan meta-wiskunde, en om die te bevatten heb je meta-verbeeldingskracht nodig. Je moet je kunnen voorstellen dat wiskundigen, die een stelling bewijzen, middels hun wiskundige intuïtie de wereld der abstracte begrippen betreden en die aftasten op haar structuur. Zo bont lees je het in de meest avontuurlijke science-fiction niet. Wiskunde, dat is de verbeelding in zijn puurste vorm.